3e，π3，3π，e3这四个数中最大的数是．

Question

3^e，π³，3^π，e³这四个数中最大的数是___．

Answer 1

设函数f（x）=(lnx)/(x)的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=(1-lnx)/(x2)，
当f′（x）>0，即0<x<e时，函数f（x）单调递增；
当f′（x）<0，即x>e时，函数f（x）单调递减．
故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．
∵e<3<π，
∴eln3<elnπ，πlne<πln3，即ln3^e<lnπ^e，lne^π<ln3^π．
于是根据函数y=lnx，y=e^x，y=π^x在定义域上单调递增，可得3^e<π^e<π³，e³<e^π<3^π，
故这四个数的最大数在π³与3^π之中，
由e<3<π及函数f（x）=(lnx)/(x)的单调性质，得f（π）<f（3）<f（e），
即(lnπ)/(π)<(ln3)/(3)<(lne)/(e)，
∴lnπ³<ln3^π，
∴3^π>π³，
3^e，π³，3^π，e³这四个数中最大的数是3^π．
故答案为：3^π．