（2011•北京一模）设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y21+y22且Q的第3列为(22，0，22)T（1）求矩阵A；（2）证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

Question

（2011•北京一模）设二次型f(x1，x2，x3)＝xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为

y

2 1

+

y

2 2

且Q的第3列为((√(2))/(2)，0，(√(2))/(2))T
（1）求矩阵A；
（2）证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．

Answer 1

（1）
由二次型f(x1，x2，x3)＝XTAX在正交变换X=QY下的标准形为

y

2 1

+

y

2 2

可得：
λ₁=λ₂=1，λ₃=0是矩阵A的特征值，
又Q的第三列为((√(2))/(2)，0，(√(2))/(2))T，
所以α1＝((√(2))/(2)，0，(√(2))/(2))T是矩阵A的属于特征值λ₃=0的特征向量．
设(z1，z2，z3)T是矩阵A的属于特征λ=1的特征向量，
由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，
从而(√(2))/(2)z2+

<

作业帮用户 2016-11-27 举报

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问题解析

由二次型在正交变换下的标准形立即可得对应矩阵的特征值，由Q的列向量为特征向量即得一个特征向量，
再由实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交可得另外两个线性无关的特征向量．

名师点评

本题考点：

用正交变换法化二次型为标准形；实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；二次型的矩阵；判断正定的充要条件．

考点点评：

二次型的矩阵，其特征值，特征向量，都与二次型的标准型有很多关系，要一次来求矩阵．并且在判断矩阵是否正定时，可利用其特征值的正负来判断．

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