已知：如图,A,K是圆O上的两点,直线FN垂直于MA,垂足为N,FN与圆O相切与点F,角AOK=2角MAK.1》求证：MN是圆O的切线：2》若点B是圆O上的一动点,BO的延长线交圆于点C,交NF于点D,连接AC并延长交于点E,当FD

Question

已知：如图,A,K是圆O上的两点,直线FN垂直于MA,垂足为N,FN与圆O相切与点F,角AOK=2角MAK.
1》求证：MN是圆O的切线：
2》若点B是圆O上的一动点,BO的延长线交圆于点C,交NF于点D,连接AC并延长交于点E,当FD=2EDSHI ,求角NAE的正切值

Answer 1

（1）证明：∵OA=OK,
∴∠3=∠AKO．
∵∠2+∠3+∠AKO=180°,∠AOK=2∠MAK,
∴∠MAK+∠OAK=90°；
∴MN是圆O的切线．
（2）∵MN是圆O的切线,
∴∠1=∠B,
∴∠4=∠2．
又∵∠2=∠3,
∴∠4=∠3,
∴DC=DE．
∵NF切圆O于F,
∴∠OFN=90°,
又∵∠NAO=90°,
∴四边形AOFN是矩形．
∵OA=OF,
∴矩形AOFN是正方形,
∴AN=NF=OF．
∵NF切圆O于F,
∴FD2=DC?DB．
∵FD=2ED,
设ED=x,则CD=ED=x,
∴（2x）2=x（x+2r）,
解得x=
2
3
r．
在△AEN中,∠ANE=90°,
cot∠AEN=
NE
AN
=
NF+FE
AN
=
3r
r
,
cot∠AEN=
NE
AN
=
NE+FE
AN
=
3r
r
=3,
同理：x=
2
3
r．
在△AEN中,∠ANE=90°．
cot∠AEN=
NE
AN
=
NE+FE
AN
=
1
3
r
r
=
1
3
,
∴∠AEN的余切值为3或
1
3
．