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已知:如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.试解答下列问题:(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关;(2)仔细观察,
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已知:如图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.试解答下列问题:![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/730e0cf3d7ca7bcbdcfc9bd3bd096b63f724a843.jpg)
(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关______;
(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数:______个;
(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.利用(1)的结论,试求∠P的度数;
(4)如果图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结论即可)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/730e0cf3d7ca7bcbdcfc9bd3bd096b63f724a843.jpg)
(1)在图1中,请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关______;
(2)仔细观察,在图2中“8字形”的个数:______个;
(3)在图2中,若∠D=40°,∠B=36°,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.利用(1)的结论,试求∠P的度数;
(4)如果图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结论即可)
▼优质解答
答案和解析
(1)在△AOD中,∠AOD=180°-∠A-∠D,
在△BOC中,∠BOC=180°-∠B-∠C,
∵∠AOD=∠BOC(对顶角相等),
∴180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C,
∴∠A+∠D=∠B+∠C;
(2)交点有点M、O、N,
以M为交点有1个,为△AMD与△CMP,
以O为交点有4个,为△AOD与△COB,△AOM与△CON,△AOM与△COB,△CON与△AOD,
以N为交点有1个,为△ANP与△CNB,
所以,“8字形”图形共有6个;
(3)∵∠D=40°,∠B=36°,
∴∠OAD+40°=∠OCB+36°,
∴∠OCB-∠OAD=4°,
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线,
∴∠DAM=
∠OAD,∠PCM=
∠OCB,
又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,
∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=
(∠OAD-∠OCB)+∠D=
×(-4°)+40°=38°;
(4)根据“8字形”数量关系,∠OAD+∠D=∠OCB+∠B,∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,
所以,∠OCB-∠OAD=∠D-∠B,∠PCM-∠DAM=∠D-∠P,
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线,
∴∠DAM=
∠OAD,∠PCM=
∠OCB,
∴
(∠D-∠B)=∠D-∠P,
整理得,2∠P=∠B+∠D.
在△BOC中,∠BOC=180°-∠B-∠C,
∵∠AOD=∠BOC(对顶角相等),
∴180°-∠A-∠D=180°-∠B-∠C,
∴∠A+∠D=∠B+∠C;
(2)交点有点M、O、N,
以M为交点有1个,为△AMD与△CMP,
以O为交点有4个,为△AOD与△COB,△AOM与△CON,△AOM与△COB,△CON与△AOD,
以N为交点有1个,为△ANP与△CNB,
所以,“8字形”图形共有6个;
(3)∵∠D=40°,∠B=36°,
∴∠OAD+40°=∠OCB+36°,
∴∠OCB-∠OAD=4°,
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线,
∴∠DAM=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/63d0f703918fa0ec9b48c8ca259759ee3c6ddb6e.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/63d0f703918fa0ec9b48c8ca259759ee3c6ddb6e.jpg)
又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,
∴∠P=∠DAM+∠D-∠PCM=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/63d0f703918fa0ec9b48c8ca259759ee3c6ddb6e.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/63d0f703918fa0ec9b48c8ca259759ee3c6ddb6e.jpg)
(4)根据“8字形”数量关系,∠OAD+∠D=∠OCB+∠B,∠DAM+∠D=∠PCM+∠P,
所以,∠OCB-∠OAD=∠D-∠B,∠PCM-∠DAM=∠D-∠P,
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线,
∴∠DAM=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/63d0f703918fa0ec9b48c8ca259759ee3c6ddb6e.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/63d0f703918fa0ec9b48c8ca259759ee3c6ddb6e.jpg)
∴
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/63d0f703918fa0ec9b48c8ca259759ee3c6ddb6e.jpg)
整理得,2∠P=∠B+∠D.
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