（2012•镇江）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）．（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x

Question

（2012•镇江）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）．

（1）求证：AM=AN；
（2）设BP=x．
①若BM=(3)/(8)，求x的值；
②求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）．当x为何值时，∠BAD=15°？此时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，
∴∠DAM=∠PAN．
在△ADM和△APN中，
∵

∠DAM＝∠PAN

AD＝AP

∠ADM＝∠APN

，

∴△ADM≌△APN，
∴AM=AN．

（2）①∵△ABC、△ADP是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠DAM=∠PAC，
∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，
∴180°-∠ADM-∠DMA=180°-∠B-∠BMP，
∴∠DAM=∠BPM，
∴∠BPM=∠NAP，
∴△BPM∽△CAP，
∴(BM)/(CP)＝(BP)/(CA)，
∵BM=(3)/(8)，AC=2，CP=2-x，
∴4x²-8x+3=0，
解得x₁=(1)/(2)，x₂=(3)/(2)．
②∵四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积，△ADM≌△APN，
∴S_△ADM=S_△APN，
∴S_{四边形AMPN}=S_△APM+S_△APN=S_△AMP+S_△ADM=S_△ADP．
过点P作PS⊥AB，垂足为S，
在Rt△BPS中，
∵∠B=60°，BP=x，
∴PS=BPsin60°=(√(3))/(2)x，BS=BPcos60°=(1)/(2)x，
∵AB=2，
∴AS=AB-BS=2-(1)/(2)x，
∴AP²=AS²+PS²=((√(3))/(2)x)2+(2−(1)/(2)x)2=x²-2x+4．
取AP的中点T，连接DT，在等边三角形ADP中，DT⊥AP，
∴S_△ADP=(1)/(2)AP•DT=(1)/(2)AP×

作业帮用户 2016-12-02 举报