求解微分方程y"-xy=0

Question

求解微分方程 y"-xy=0

Answer 1

设y=∑{n=0~∞}anx^n,则xy=∑{n=0~∞}anx^{n+1},y''=∑{n=2~∞}an*n(n-1)x^{n-2}
y"-xy=0表明y''=xy
即∑{n=2~∞}an*n(n-1)x^{n-2}=∑{n=0~∞}anx^{n+1}
即2a2+3*2a3x+4*3a4x^2+5*4a5x^3+...=a0x+a1x^2+a2x^3+...
比较左右两侧x同次幂的系数得
a2=0;
3*2a3=a0;
4*3a4=a1;
5*4a5=a2;
.
一般地,n(n-1)an=a{n-3},即an=a{n-3}/[n(n-1)] (n=3,4,...)
因此,a{3k+2}=0,k=0,1,2,...;
a3=a0/(3*2),a6=a0/(6*5*3*2),一般地,a{3k}=a0/[3k*(3k-1)*3(k-1)*[3(k-1)-1]...3*2 (k=1,2...);
类似,a{3k+1}=a1/[(3k+1)*3k*[3(k-1)+1]*[3(k-1)]...4*3 (k=1,2...)
这里a0,a1是任意实数.
由此可以得到未知函数y的幂级数表示式.