计算曲线积分I=∫L（x2-yz）dx+（y2-xz）dy+（z2-xy）dz，其中L是连接点A（a，0，0）与点B（a，0，b）的有向光滑曲线．

Question

计算曲线积分I=∫L（x²-yz）dx+（y²-xz）dy+（z²-xy）dz，其中L是连接点A（a，0，0）与点B（a，0，b）的有向光滑曲线．

Answer 1

∵I＝∫L+

.

BA

 −∫

.

BA

 ，
而由斯托克斯公式，得
I1＝∫L+

.

BA

(x2−yz)dx+(y2−xz)dy+(z2−xy)dz
=

∫∫

S

.

dydz	dzdx	dxdy
(∂)/(∂x)	(∂)/(∂y)	(∂)/(∂z)
x2−yz	y2−xz	z2−xy

.

＝0
，其中S是由L+

.

BA

围成的光滑曲面
又

.

BA

的参数方程为

x＝a

y＝0

z＝z

，B的参数为b，A的参数为0
∴I2＝∫

.

BA

(x2−yz)dx+(y2−xz)dy+(z2−xy)dz＝

∫

0 b

z2dz＝−(1)/(3)b3，
∴I＝(1)/(3)b3．