设x,y,z是正实数,且x+y+z=1.求证：(1)xy+yz+xz≤1/3,(2)x√y+y√z+z√x≤√3/3.2小时内采纳.过时无用.要用柯西不等式的方法做的

Question

设x,y,z是正实数,且x+y+z=1.求证：(1)xy+yz+xz≤1/3,(2)x√y+y√z+z√x≤√3/3.
2小时内采纳.过时无用.
要用柯西不等式的方法做的

Answer 1

x+ y+ z=1,得(x+ y+ z)²=x²+ y²+ z²+ 2(xy+ yz+ xz)=1
又x²+ y²≥2xy,x² +z²≥2xz,y²+ z²≥2yz,
则x²+ y²+ z²≥xy+ yz+ xz
∴1≥3(xy+ yz+ xz) (x=y=z时取等)
故xy+ yz+ xz≤1/3