正方形ABCD边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：△ABM∽△MCN；（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长；（3）设BM=x，当M点运

Question

正方形ABCD边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．

（1）证明：△ABM∽△MCN；
（2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长；
（3）设BM=x，当M点运动到什么位置时△ABM∽△AMN，求x的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=4，∠B=∠C=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB，∴∠AMN=90°，
∴∠CMN+∠AMB=90°．
在Rt△ABM中，∠MAB+∠AMB=90°，
∴∠CMN=∠MAB，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN．
（2）∵△ABM∽△MCN，△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，
∴(BM)/(NC)=(AB)/(MC)=(4)/(3)，
∴(4)/(MC)=(4)/(3)，
∴MC=3，
∴BM=4-3=1，
∴(1)/(NC)=(4)/(3)，
∴NC=(3)/(4)
（3） ∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，则有(AM)/(MN)=(AB)/(BM)，
由（1）知(AM)/(MN)=(AB)/(MC)，
∴(AB)/(BM)=(AB)/(MC)，
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时，x=2．