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如图(1)是矩形纸片ABCD连续两次对折展开平铺后的图形,折痕分别为EF,MN,GH.(1)如图(2),连接BD,与折痕GH,EF,MN分别交于点S,O,T,求证:OE=OF;(2)如图(3),连接ET并延长交C
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如图(1)是矩形纸片ABCD连续两次对折展开平铺后的图形,折痕分别为EF,MN,GH.
(1)如图(2),连接BD,与折痕GH,EF,MN分别交于点S,O,T,求证:OE=OF;
(2)如图(3),连接ET并延长交CD于点Q,连接FS并延长交AB于点P,连接EP,FQ.求证:四边形EPFQ是菱形;
(3)若四边形EPFQ是正方形,则矩形ABCD需满足的条件是___.
(1)如图(2),连接BD,与折痕GH,EF,MN分别交于点S,O,T,求证:OE=OF;
(2)如图(3),连接ET并延长交CD于点Q,连接FS并延长交AB于点P,连接EP,FQ.求证:四边形EPFQ是菱形;
(3)若四边形EPFQ是正方形,则矩形ABCD需满足的条件是___.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图(2),∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
由折叠得:G、E、M将AD四等分,
∴ED=BF,
∵∠EOD=∠FOB,
∴△EOD≌△FOB,
∴OE=OF;
(2)由(1)得:△EOD≌△FOB,
∴OD=OB,
连接AC,
∴A、O、C共线,
∵GT∥EO,
∴
=
=1,
∴DT=OT,
∵AE=ED,OT=DT,
∴ET∥AC,ET=
AO,
即EQ∥AC,
同理得:TQ=
OC,
∴EQ=
AC,
同理得:PF=
AC,PF∥AC,
∴PF=EQ,PF=EQ,
∴四边形EPFQ是平行四边形,
∵PF∥AC,F是BC的中点,
∴P为AB的中点,
同理得:Q为DC的中点,
∴AP=QD=
AB,
∵AE=AD,∠BAD=∠ADC=90°,
∴△APE≌△DQE,
∴PE=EQ,
∴▱EPFQ是菱形.
(3)当AB=AD时,四边形EPFQ是正方形,理由是:
∵E是AD的中点,P是AB的中点,
∴AE=
AD,AP=
AB,
∵AB=AD,
∴AP=AE,
∴△APE是等腰直角三角形,
∴∠AEP=45°,
同理∠QED=45°,
∴∠PEQ=90°,
由(2)得:四边形EPFQ是菱形,
∴四边形EPFQ是正方形;
故答案为:AB=AD.
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
由折叠得:G、E、M将AD四等分,
∴ED=BF,
∵∠EOD=∠FOB,
∴△EOD≌△FOB,
∴OE=OF;
(2)由(1)得:△EOD≌△FOB,
∴OD=OB,
连接AC,
∴A、O、C共线,
∵GT∥EO,
∴
DG |
EG |
DT |
OT |
∴DT=OT,
∵AE=ED,OT=DT,
∴ET∥AC,ET=
1 |
2 |
即EQ∥AC,
同理得:TQ=
1 |
2 |
∴EQ=
1 |
2 |
同理得:PF=
1 |
2 |
∴PF=EQ,PF=EQ,
∴四边形EPFQ是平行四边形,
∵PF∥AC,F是BC的中点,
∴P为AB的中点,
同理得:Q为DC的中点,
∴AP=QD=
1 |
2 |
∵AE=AD,∠BAD=∠ADC=90°,
∴△APE≌△DQE,
∴PE=EQ,
∴▱EPFQ是菱形.
(3)当AB=AD时,四边形EPFQ是正方形,理由是:
∵E是AD的中点,P是AB的中点,
∴AE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵AB=AD,
∴AP=AE,
∴△APE是等腰直角三角形,
∴∠AEP=45°,
同理∠QED=45°,
∴∠PEQ=90°,
由(2)得:四边形EPFQ是菱形,
∴四边形EPFQ是正方形;
故答案为:AB=AD.
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