x^3+y^3+z^3>=3*三次根号xyz这个公式怎么推导或者直接说明a1^n+a2^n+a3^n+.+an^n=n*（a1乘到an的积开n次方）更好

Question

x^3+y^3+z^3>=3*三次根号xyz 这个公式怎么推导
或者直接说明a1^n+a2^n+a3^n+.+an^n=n*（a1乘到an的积开n次方）更好

Answer 1

应该 加强题目的条件 如果 X=1 Y=-1 Z=-1 则不满足了
应该是 X Y Z 都大于大于0
再利用 3次函数的凹凸性 可得 x^3+y^3+z^3>=3* ((X+Y+Z)/3）^3
又因为　几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
Gn≤An a1、a2、… 、an∈R +,当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
所以
(X+Y+Z)/3>=3次√(xyz)
3((X+Y+Z)/3）^3 >=3xyz
所以有
x^3+y^3+z^3>=3* ((X+Y+Z)/3）^3 >=3xyz
感觉这题目有点问题
应该是x^3+y^3+z^3>=3*xyz 因为当X=Y=Z=0.1 x^3+y^3+z^3=0.003 3*三次根号xyz=0.3
所以题目 应该是 x^3+y^3+z^3>=3*xyz 而且 X Y Z 非负
至于推广 都可以用函数的凹凸性 还有几何平均数　　 算术平均数 当然要非负
对于这些的严格的证明 我就不弄了