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f(x)=(x^4+kx^2+1)/(x^4+x^2+1)对于任意a,b,c属于R,存在f(a)f(b)f(c)为边长的三角形,求k的取值范围.
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f(x)=(x^4+kx^2+1)/(x^4+x^2+1)对于任意a,b,c属于R,存在f(a) f(b) f(c)为边长的三角形,求k的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
f(x)=(x^4+kx^2+1)/(x^4+x^2+1)
=1+(k-1)x^2/(x^4+x^2+1)
=1+(k-1)/(x²+1+1/x²)
∵x²+1+1/x²∈[3,﹢∞﹚
∴1/﹙x²+1+1/x²﹚∈﹙0,1/3]
当k>1时,(k-1)/﹙x²+1+1/x²﹚∈﹙0,(k-1)/3]
∴f(x)∈﹙1,(k+2)/3]
∴1+1≥(k+2)/3
即k≤4
∴k∈﹙1,4]
当k<1时,(k-1)/﹙x²+1+1/x²﹚∈[(k-1)/3,0)
∴f(x)∈[(k+2)/3,1)
∴(k+2)/3>0且2(k+2)/3>1
即k>﹣1/2
∴k∈﹙﹣1/2,1﹚
当k=1时,f(x)=1,显然符合题意
故k∈﹙﹣1/2,4]
=1+(k-1)x^2/(x^4+x^2+1)
=1+(k-1)/(x²+1+1/x²)
∵x²+1+1/x²∈[3,﹢∞﹚
∴1/﹙x²+1+1/x²﹚∈﹙0,1/3]
当k>1时,(k-1)/﹙x²+1+1/x²﹚∈﹙0,(k-1)/3]
∴f(x)∈﹙1,(k+2)/3]
∴1+1≥(k+2)/3
即k≤4
∴k∈﹙1,4]
当k<1时,(k-1)/﹙x²+1+1/x²﹚∈[(k-1)/3,0)
∴f(x)∈[(k+2)/3,1)
∴(k+2)/3>0且2(k+2)/3>1
即k>﹣1/2
∴k∈﹙﹣1/2,1﹚
当k=1时,f(x)=1,显然符合题意
故k∈﹙﹣1/2,4]
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