f(x)=(x^4+kx^2+1)/(x^4+x^2+1)对于任意a,b,c属于R,存在f(a)f(b)f(c)为边长的三角形,求k的取值范围.

Question

f(x)=(x^4+kx^2+1)/(x^4+x^2+1)对于任意a,b,c属于R,存在f(a) f(b) f(c)为边长的三角形,求k的取值范围.

Answer 1

f(x)=(x^4+kx^2+1)/(x^4+x^2+1)
=1+(k-1)x^2/(x^4+x^2+1)
=1+(k-1)/(x²+1+1／x²)
∵x²+1+1／x²∈[3,﹢∞﹚
∴1／﹙x²+1+1／x²﹚∈﹙0,1／3]
当k＞1时,（k-1）／﹙x²+1+1／x²﹚∈﹙0,（k-1）／3]
∴f(x)∈﹙1,（k+2）／3]
∴1+1≥（k+2）／3
即k≤4
∴k∈﹙1,4]
当k＜1时,（k-1）／﹙x²+1+1／x²﹚∈[（k-1）／3,0）
∴f(x)∈[（k+2）／3,1）
∴（k+2）／3＞0且2（k+2）／3＞1
即k＞﹣1／2
∴k∈﹙﹣1／2,1﹚
当k=1时,f(x)=1,显然符合题意
故k∈﹙﹣1／2,4]