解道方程求方程1/x+1/y-1/xy^2=3/4的整数解

Question

解道方程
求方程1/x + 1/y - 1/xy^2 =3/4 的整数解

Answer 1

如果你的题是
(1/x)+(1/y)-(1/(xy)^2)=3/4
那么
同时乘以4xxyy
3xxyy ＝4〔xy (x+y)-1〕
右边可以被4整除
x,y有一个是偶数
不妨x是偶数
xy(x+y)是偶数
xy(x+y)-1是奇数
所以右边分解质因数只有2个2
所以y是奇数
设x=2k
k是奇数
3kkyy－2ky(2k+y)＝1
ky〔－3ky＋2(2k+y)〕=1
三个整数的乘积＝1
k＝y=1,－3ky＋2(2k+y)＝3（舍）
或
k＝1,y=-1 －3ky＋2(2k+y)＝5（舍）
或
k=-1,y=1 －3ky＋2(2k+y)＝1（舍）
或
k=y=-1 3ky－2(2k+y)＝－3 （舍）
无整数解!
如果你的题是
(1/x)+(1/y)-(1/xy^2)=3/4
同时乘以4xyy
4yy－xy（3y－4）＝4
y〔4y－3xy＋4x〕＝4
所以
y｜4
y＝－4,－2,－1,1,2,4
分别讨论
y＝－4
4y－3xy＋4x＝－1（舍）
y＝－2
4y－3xy＋4x＝－2（舍）
y=－1
4y－3xy＋4x＝－4（舍）
y＝4
4y－3xy＋4x＝1（舍）
y＝2
4y－3xy＋4x＝2
x=3
y=1
4y－3xy＋4x＝4（舍）
x=3,y=2