已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）.它的两条渐近线截直线x=-a2c•所得线段的长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.3

Question

已知双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）.它的两条渐近线截直线x=-(a2)/(c)•所得线段的长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率为（　　）
A. √(2)
B. √(3)
C. 2
D. 3

Answer 1

由题意得，渐近线方程为y=±(b)/(a)x，bx±ay=0，由

y＝(b)/(a)x

x＝ −(a2)/(c)

 得，
渐近线截直线x=-(a2)/(c)所得线段的一个交点为（-(a2)/(c)，-(ab)/(c)），
同理求得另一个交点为（-(a2)/(c)，(ab)/(c)），
∴它的两条渐近线截直线x=-(a2)/(c)，所得线段的长度为(2ab)/(c)．
双曲线的一个焦点（c，0）到渐近线 bx-ay=0的距离 d=(|bc−0|)/(√(a2+ b2))=(bc)/(c)=b，
∴(2ab)/(c)=b，(c)/(a)=2，
故选C．