设光滑曲线y=k(x)过原点,且当x>0时,k(x)>0.对应于[0,x]一段曲线的弧长为(e^x)-1,求k(x).我不理解的是答案上的[根号下1加(y的二阶导)]从0到x的积分是(e^x)-1,这个是怎么得到的?

Question

设光滑曲线y=k(x)过原点,且当x>0时,k(x)>0.对应于[0,x]一段曲线的弧长为(e^x)-1,求k(x).
我不理解的是答案上的 [根号下1加(y的二阶导)]从0到x的积分是(e^x)-1,这个是怎么得到的?

Answer 1

设光滑曲线y=k(x)过原点,且当x>0时,k(x)>0.对应于[0,x]一段曲线的弧长为(e^x)-1,求k(x).
把曲线上一段微弧看成一段直线,则其弧长dS²=dx²+dy²,故ds=√(dx²+dy²)=√(1+y′²)dx
已知[0,x]∫ds=S=[0,x]∫√(1+y′²)dx=e^x-1
等式两边对x取导数得√(1+y′²)=e^x,故1+y′²=e^(2x),y′²=e^(2x)-1,y′=√[e^(2x)-1]；
故y=∫√[e^(2x)-1]dx
令e^x=secu,则(e^x)dx=secutanudu,故dx=tanudu,代入上式得：
y=K(x)=∫√[e^(2x)-1]dx=∫[√(sec²u-1)]tanudu=∫tan²udu=tanu-u+C={√[e^(2x)-1]}-arcsec(e^x)+C