一个因式分解题目轮换法做因式分解（x+y+z)^5－（y+z－x)^5－（z+x－y)^5－（x+y－z)^5

Question

一个因式分解题目
轮换法做因式分解（x+y+z)^5－（y+z－x)^5－（z+x－y)^5－（x+y－z)^5

Answer 1

令x=0,则
(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5
=(y+z)^5-(y-z)^5-(-y+z)^5-(y+z)^5
=0
所以分解式中含因式x,同理可得也含y、z
从而分解式中含因式xyz
又因为(x+y+z)^5-(x+y-z)^5-(x-y+z)^5-(-x+y+z)^5是五次轮换对称式,
所以除去xyz外,还有二次轮换对称式,
只能是k（x^2+y^2+z^2）
或者k[（x+y）^2+（y+z）^2+（z+x）^2]
或者k[（x-y）^2+（y-z）^2+（z-x）^2
用代定系数法可算出k=80,并排除后两种情况,
可得,原式=80xyz(x^2+y^2+z^2)