求函数u=lnx+2lny+3lnz在球面x^2+y^2+z^2=上的最大值

Question

求函数u=lnx+2lny+3lnz在球面x^2+y^2+z^2=上的最大值

Answer 1

拉格朗日乘数法学了没?
此题就可以用拉格朗日乘数法对最优化问题解决.
u=lnx+2lny+3lnz=ln(xy^2z^3).求它的最值就是求xy^2z^3的最值.而且x,y,z>0.
设L(x,y,z,λ)=xy^2z^3+λ(x^2+y^2+z^2-R^2)(你题没写全,我就当球的半径是R吧)
∂L/∂x=y^2z^3+2λx,∂L/∂y=2xyz^3+2λy,∂L/∂z=3xy^2z^2+2λz,∂L/∂λ=x^2+y^2+z^2-R^2.
令其全部为0
y^2z^3=-2λx,2xz^3=-2λ;3xy^2z=-2λ;x^2+y^2+z^2-R^2=0
得到3y^2=2z^2,2x^2=y^2.可以带入后面的式子,得到3y^2=R^2
z^2=R^2/2,x^2=R^2/6.x=√6R/6,y^2=R^2/3,z^3=√2R^3/4.
所以u=3ln(√3R/6).
都是直接边打边算的.方法就是拉格朗日乘数法,所有高数书上都有的