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设复数z满足|z|=1,求|z^2+z+3|的最大值和最小值
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设复数z满足|z|=1,求|z^2+z+3|的最大值和最小值
▼优质解答
答案和解析
令z=cosa+isina,
z^2=cos2a+isin2a
z^2+z+3=(cosa+cos2a+3)+i(sina+sin2a)
|z^2+z+3|^2=(cosa+cos2a+3)^2+(sina+sin2a)^2
=11+6cos2a+6cosa+2cos(2a-a)
=11+6cos2a+8cosa
=12(cosa)^2+8cosa+5
=12(cosa+1/3)^2+11/3
当cosa=1,取到最大值5.
cosa=-1/3.取到最小值√33/3
z^2=cos2a+isin2a
z^2+z+3=(cosa+cos2a+3)+i(sina+sin2a)
|z^2+z+3|^2=(cosa+cos2a+3)^2+(sina+sin2a)^2
=11+6cos2a+6cosa+2cos(2a-a)
=11+6cos2a+8cosa
=12(cosa)^2+8cosa+5
=12(cosa+1/3)^2+11/3
当cosa=1,取到最大值5.
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