已知等比数列{an}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设a≠1，n≥2，记bn=ana2n+an-2，Tn=b2+b3+…+bn．（i）证明：bn=-13[1(-2)n-1-1-1(-2)n-1]；（ii）若Tn＞760

Question

已知等比数列{a_n}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设a≠1，n≥2，记bn=(an)/(a2n+an-2)，Tn=b2+b3+…+bn．
（i）证明：bn=-(1)/(3)[(1)/((-2)n-1-1)-(1)/((-2)n-1)]；
（ii）若Tn＞(7)/(60)，求n的所有可能取值．

Answer 1

（I）∵等比数列{a_n}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a，
∴a+a²+a³=3a，a≠0，
∴a²+a-2=0，解得a=1，或a=-2，
故a_n=1，或an=(-2)n．
（II）（i）a_n=（-2）ⁿ，bn=(an)/(a2n+an-2)=((-2)n)/((-2)2n+(-2)n-2)，
∵-(1)/(3)[(1)/((-2)n-1-1)-(1)/((-2)n-1)]
=-(1)/(3)•([(-2)n-1]-[(-2)n-1-1])/([(-2)n-1-1][(-2)n-1])
=-(1)/(3)•((-2)n-(-2)n-1)/((-2)2n-1-(-2)n-(-2)n-1+1)
=-(1)/(3)•(-3(-2)n-1)/((-2)2n-1+(-2)n-1+1)
=((-2)n-1•(-2))/([(-2)2n-1+(-2)n-1+1]•(-2))
=((-2)n)/((-2)2n+(-2)n-2)．
∴bn=-(1)/(3)[(1)/((-2)n-1-1)-(1)/((-2)n-1)]．
（ii）由（i）知：
Tn=-(1)/(3)((1)/(-3)-

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问题解析

（I）由等比数列{a_n}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a，知a+a²+a³=3a，a≠0，由此能求出a．
（II）（i）a_n=（-2）ⁿ，bn=(an)/(a2n+an-2)=((-2)n)/((-2)2n+(-2)n-2)，由-(1)/(3)[(1)/((-2)n-1-1)-(1)/((-2)n-1)]=((-2)n)/((-2)2n+(-2)n-2)．能够证明bn=-(1)/(3)[(1)/((-2)n-1-1)-(1)/((-2)n-1)]．
（ii）由（i）知：Tn=-(1)/(3)((1)/(-3)-(1)/((-2)n-1))＞(1)/(60)，即(1)/((-2)n-1)＞(1)/(60)，由此能求出n的所有可能取值．

名师点评

本题考点：

数列的求和；等比数列的性质．

考点点评：

本题考查数列的综合应用，综合性强，难度大，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．

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