设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心，AC=3，BC=4，求I1I2．

Question

设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，I₁、I₂分别是△ADC、△BDC的内心，AC=3，BC=4，求I₁I₂．

Answer 1

作I₁E⊥AB于E，I₂F⊥AB于F，
在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=√(AC2+BC2)= 5，
又CD⊥AB，由射影定理可得AD=(AC2)/(AB)=(9)/(5)，
故BD=AB-AD=(16)/(5)，CD=√(AC2-AD2)=(12)/(5)，
因为I₁E为直角三角形ACD的内切圆的半径，
所以I₁E=(1)/(2)（AD+CD-AC）=(3)/(5)，
连接DI₁、DI₂，则DI₁、DI₂分别是∠ADC和∠BDC的平分线，
所以∠I₁DC=∠I₁DA=∠I₂DC=∠I₂DB=45°，
故∠I₁DI₂=90°，
所以I₁D⊥I₂D，DI1=(I1E)/(sin∠ADI1)=((3)/(5))/(sin45°)=(3√(2))/(5)，
同理，可求得I2F=(4)/(5)， DI2=(4√(2))/(5)，
所以I1I2=√(DI12+DI2作业帮用户2016-12-15举报举报该用户的提问举报类型（必填）色情低俗辱骂攻击侮辱英烈垃圾广告不良流行文化骗取采纳其他举报理由（必填）0/100提交问题解析首先作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F．在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AB的值，再运用射影定理求得AD、BD的长．因为I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径，即可求得I1E的值．连接DI1、DI2，则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线，利用垂直的定义，可得到I1D⊥I2D．利用在直角三角形中，直角边也对应角的关系，求得DI1、DI2的值，进而求得I1I2的值．名师点评本题考点：三角形的内切圆与内心；勾股定理；解直角三角形．考点点评：本题考查内切圆与内心、勾股定理、解直角三角形．解决本题的基本思路是首先求得两个内切圆I1、I2的半径，再利用勾股定理求得DI1、DI2，最后在证明I1D⊥I2D的基础上求得I1I2的值．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)