设有n台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σi（i=1，2，…，n）．用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X1，X2，…，Xn．设仪器都没有系统误差，即E（Xi

Question

设有n台仪器，已知用第i台仪器测量时，测定值总体的标准差为σ_i（i=1，2，…，n）．用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X₁，X₂，…，X_n．设仪器都没有系统误差，即E（X_i）=θ（i=1，2，…，n），问k₁，k₂，…，k_n应取何值，才能在使用

θ

=

n

i＝1

kiXi估计θ时，

θ

无偏，并且D（

θ

）最小？

Answer 1

由于E（X_i）=θ（i=1，2，…，n），则

∧

θ

=

n

i＝1

kiXi的无偏性要求是

n

i＝1

ki＝1．这就是约束条件，
而目标函数为D

∧

θ

=

n

i＝1

k

2 i

X

2 i

．
可用拉格朗日乘数法来解，作函数
f（k₁，k₂，…，k_n）=

n

i＝1

k

2 i

X

2 i

+λ(1−

n

i＝1

ki)，
由(∂f)/(∂ki)＝0（i=1，2，…，n）得方程组

2ki

σ

2 i

−λ＝0，i＝1，2，…，n

n

i＝1

ki＝1

解得　
ki＝(1)/(σ2i)(

n

i＝1

作业帮用户 2017-10-10 举报

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问题解析

首先根据无偏性的要求写出k₁，k₂，…，k_n应满足的条件，然后根据D（

θ

）最小写出其目标，利用拉格朗日乘数法求解．

名师点评

本题考点：

利用拉格朗日乘数法求条件极值．

考点点评：

此题考查参数估计里的无偏性和有效性的概念以及条件极值的求法，是跨学科的问题．

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