已知i是虚数单位，z1=x+yi（x，y∈R），且x2+y2=1，z2=（3+4i）z1+（3-4i）.z1．（I）求证：z2∈R；（II）求z2的最大值和最小值．

Question

已知i是虚数单位，z₁=x+yi（x，y∈R），且x²+y²=1，z₂=（3+4i）z₁+（3-4i）

.

z1

．
（ I） 求证：z₂∈R；
（ II）求z₂的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）证明∵z₁=x+yi，

.

z

₁=x-yi（x，y∈R），
∴z₁+

.

z

₁=2x，z₁-

.

z

₁=2yi．
∴z₂=（3+4i）z₁+（3-4i）₁，
=3（z₁+

.

z1

）+4i（z₁-

.

z

₁）．
=6x+8yi²=（6x-8y）∈R
（Ⅱ）解∵x²+y²=1，
设u=6x-8y，代入x²+y²=1消去y得
64x²+（6x-u）²=64．
∴100x²-12ux+u²-64=0．
∵x∈R，∴△≥0．
∴144u²-4×100（u²-64）≥0．
∴u²-100≤0．
∴-10≤u≤10．
∴z₂的最大值是10，最小值是-10