已知复数z1满足（3+4i）z1=-1+7i，z2=a-2-i，a∈R．（1）若|z1+.z2|＜2|z1|，求a的取值范围；（2）若z1+.z2是方程x2-2x+p=0（p∈R）的一个根，求a与

Question

已知复数z ₁ 满足（3+4i）z ₁ =-1+7i，z ₂ =a-2-i，a∈R．
（1）若 | z 1 +

.

z 2

|＜2| z 1 | ，求a的取值范围；
（2）若 z 1 +

.

z 2

是方程x ² -2x+p=0（p∈R）的一个根，求a与p的值．

Answer 1

（1）因为 z 1 =(-1+7i)/(3+4i) ，所以 z 1 =((-1+7i)•(3-4i))/((3+4i)•(3-4i)) =1+i．…（1分）
于是  | z 1 +

.

z 2

|=|1+i+a-2+i|=|a-1+2i|=

(a-1) 2 +4

， | z 1 |=

2

，…（3分）
又    | z 1 +

.

z 2

|＜2| z 1 | ，则   

(a-1) 2 +4

＜2

2

，解得-1＜a＜3．
因此，所求的a的取值范围为（-1，3）．…（5分）
（2）由（1）知  z ₁ =1+i，则 z 1 +

.

z 2

=a-1+2i ．
所以a-1+2i（a∈R）是方程 x ² -2x+p=0（p∈R）的一个根，
则△=（-2） ² -4p＜0，且a-1-2i（a∈R）也是此方程的一个根．…（8分）
于是     

△=(-2 ) 2 -4p＜0

(a-1+2i)+(a-1-2i)=2

(a-1+2i)•(a-1-2i)=p.

，解得  

a=2

p=5.

，
因此，a=2，p=5．…（10分）