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x,y,z为非负数,且x+y+z=1,求证:yz+zx+xy≤9xyz.
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x,y,z为非负数,且x+y+z=1,求证:yz+zx+xy≤9xyz.
▼优质解答
答案和解析
证明:当x,y,z中有1个或2个是0时,不等式成立;
当x,y,z都是正数时,xyz>0,
所以
=
+
+
=
+
+
=(
+
+
)+(
+
)+(
+
)+(
+
)
≥
+2×
+2×
+2×
=1(当x=y=z=
时等号成立)
∴yz+zx+xy≤9xyz
得证.
当x,y,z都是正数时,xyz>0,
所以
yz+zx+xy |
9xyz |
1 |
9x |
1 |
9y |
1 |
9z |
x+y+z |
9x |
x+y+z |
9y |
x+y+z |
9z |
=(
1 |
9 |
1 |
9 |
1 |
9 |
y |
9x |
x |
9y |
z |
9x |
x |
9z |
z |
9y |
y |
9z |
≥
1 |
3 |
1 |
9 |
1 |
9 |
1 |
9 |
1 |
3 |
∴yz+zx+xy≤9xyz
得证.
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