高等数学问题已知函数f(x)在（-∞,+∞）内具有二阶导数,且limf(x)/x=1,f''(x)>0,证明：f(x)>x

Question

高等数学问题
已知函数f(x)在（-∞,+∞）内具有二阶导数,且limf(x)/x=1,
f''(x)>0,证明：f(x)>x

Answer 1

∵f''(x)>0.f（x）应当连续,从limf(x)/x=1,f（0）＝0.
且limf(x)/x＝lim[（f（x）-f（0））／（x-o）]＝f′（0）＝1.
令g（x）＝f（x）-x.g（0）＝0.
g′（x）＝f′（x）-1.g′（0）＝0.
g〃（x）＝f〃（x）＞0.g′（x）单调增加.
当x＞0时g′（x）＞0.g（x）＞g（0）＞0.f（x）＞x.
当x＜0时g′（x）＜0.g（x）＞g（0）＞0.f（x）＞x.
总之,当x≠0时,f（x）＞x.
（本题有小毛病：x＝0时,f（x）＝x.）