函数f（x）=ln(1+x),当了x>0时,不等式f(x)>kx/k+x(k≥0)恒成立,求实数k的取值范围

Question

函数f（x）=ln(1+x),当了x>0时,不等式f(x)>kx /k+x(k≥0)恒成立,求实数k的取值范围

Answer 1

设g(x)＝f(x)-kx/(k+x)
→g(x)＝ln(1+x)-kx/(k+x).
显然,g(0)＝0.
f(x)>kx/(x+k)在x>0,k≥0时恒成立,
则g(x)>g(0),即g(x)在x>0时递增.
∴g'(x)＝1/(1+x)-k^2/(k+x)>0
→x(1+2k-k^2)>0,而x>0,
∴1+2k-k^2>0且k≥0,
解得,0≤k