已知二次函数y=x2+（m+3）x+m+2，当-1＜x＜3时，恒有y＜0；关于x的方程x2+（m+3）x+m+2=0的两个实数根的倒数和小于−910．求m的取值范围．

Question

已知二次函数y=x²+（m+3）x+m+2，当-1＜x＜3时，恒有y＜0；关于x的方程x²+（m+3）x+m+2=0的两个实数根的倒数和小于−(9)/(10)．求m的取值范围．

Answer 1

①由题意可得，方程x²+（m+3）x+m+2=0与x轴有两个交点，
故有△＞0，即（m+3）²-4（m+2）＞0，
解得：m≠-1，
又因为y=x²+（m+3）x+m+2=（x+1）（x+m+2），
当y＜0时，x可取两个范围：-1＜x＜-m-2或-m-2＜x＜-1，
而由题意得，当-1＜x＜3时，恒有y＜0，
故可得，当y＜0时，x的取值范围为：-1＜x＜-m-2，
也可得出-m-2＞3，
解得：m＜-5；
②由题意得，方程x²+（m+3）x+m+2=0有实数根，
故有△≥0，即（m+3）²-4（m+2）≥0，
解得：m可取任意实数，
又因为(1)/(x1)+(1)/(x2)=(x1+x2)/(x1x2)=(−(m+3))/(m+2)＜-(9)/(10)，
解得：m＞-12，
综合①②可得：-12＜m＜-5．