已知x>0,y>0,且xy+1=2x+y,求x+y的取值范围?请用高中知识解决不要拉格朗日乘子法

Question

已知x>0,y>0,且xy+1=2x+y,求x+y的取值范围?
请用高中知识解决不要拉格朗日乘子法

Answer 1

xy-2x-y=-1
xy-2x-y+2=1
(x-1)(y-2)=1
∴  y=2+1/(x-1)
x+y=x+2+1/(x-1)=3+(x-1)+1/(x-1)


①x＞1时,x+y≥3+2=5


②x＜1时,-1＜x-1＜0,
 y=2+1/(x-1)＞0
∴  x-1＜-1/2
∴  -1＜x-1＜-1/2  
∴  1/2＜x+y=3+(x-1)+1/(x-1)＜1


综上,x+y的取值范围为：
(1/2,1)∪[5,+∞)