急~实数x,y,z满足x+y+z=0且x^2+y^2+z^2=1.记m为x^2,y^2,z^2中的最大者,则m的最小值为?答案是1/2.但是个人认为取不到1/2,究竟怎么做?十万火急!

Question

急~实数 x,y,z 满足 x+y+z=0 且 x^2+y^2+z^2=1. 记 m 为 x^2, y^2, z^2 中的最大者,则 m 的最小值为?
答案是1/2.但是个人认为取不到1/2,究竟怎么做?十万火急!

Answer 1

说一下思路,你自己试一下：
x,y,z的平方的最大值,即绝对值最大的数,又因为三个数的和为0,故：
如果某一个数绝对值最大,则另两个数的一定同号
不妨设z最大,则xy≥0
然后,你将x＝－（y+z)代入x^2+y^2+z^2=1,整理得一个关于y的一元二次方程
2y^2+2zy+2z^2-1=0
同样你将y＝－(x+z)代入x^2+y^2+z^2=1,整理得一个关于x的一元二次方程
2x^2+2zx+2z^2-1=0
比较一下,你不难发现,这两个方程的形式是一样的,可以理解成x,y都是一个关于m的方程
2m^2+2zm+2z^2-1=0的两个根
然后根据这个方程有两个同号的的根,可得△≥0,两根之积2z^2-1/2≥0
可以得到z^2≥1/2
即z^2的最小值是1/2