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已知函数f(x)=e的x次方,g(x)=x-m,m∈R.(1)若曲线y=f(x)与直线y=g(x)相切,求实数m的值;(2)记h(x)=f(x)•g(x),求h(x)在[0,1]上的最大值;(3)当m=0时,试比较e的f(x-2)次方
题目详情
已知函数f(x)=e的x次方,g(x)=x-m,m∈R.
(1)若曲线y=f(x)与直线y=g(x)相切,求实数m的值;
(2)记h(x)=f(x)•g(x),求h(x)在[0,1]上的最大值;
(3)当m=0时,试比较e的f(x-2)次方与g(x)的大小.
(1)若曲线y=f(x)与直线y=g(x)相切,求实数m的值;
(2)记h(x)=f(x)•g(x),求h(x)在[0,1]上的最大值;
(3)当m=0时,试比较e的f(x-2)次方与g(x)的大小.
▼优质解答
答案和解析
(1)设切点P为(x₀,e^x₀)
f'(x)=e^x,代入:f‘(x₀)=e^x₀=切线的斜率=1
∴x₀=1,P(1,e),代入g(x):
e=1-m,
∴m=1-e
(2)h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=e^x·(x+e-1)+e^x=e^x(x+e) 当x∈[0,1]时恒大于0.
∴在区间内h(x)单调递增,h(x)的最大值=h(1)=e²
(3)m=0,g(x)=x
x<0时,e^f(x-2)>0,
∴e^f(x-2)>g(x)
x≥0时,设h(x)=e^f(x-2)-g(x)
h’(x)=f'(x-2)e^f(x-2)=[e^(x-2)]'e^f(x-2)=e^(x-2)·e^e^(x-2)>0
∴x∈[0,+∞)时,h(x)单调递增
h(x)≥h(0)=e^e^(-2)-0>0
∴e^f(x-2)-g(x)>0
即e^f(x-2)>g(x)
综上:x∈R,e^f(x-2)>g(x)
f'(x)=e^x,代入:f‘(x₀)=e^x₀=切线的斜率=1
∴x₀=1,P(1,e),代入g(x):
e=1-m,
∴m=1-e
(2)h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=e^x·(x+e-1)+e^x=e^x(x+e) 当x∈[0,1]时恒大于0.
∴在区间内h(x)单调递增,h(x)的最大值=h(1)=e²
(3)m=0,g(x)=x
x<0时,e^f(x-2)>0,
∴e^f(x-2)>g(x)
x≥0时,设h(x)=e^f(x-2)-g(x)
h’(x)=f'(x-2)e^f(x-2)=[e^(x-2)]'e^f(x-2)=e^(x-2)·e^e^(x-2)>0
∴x∈[0,+∞)时,h(x)单调递增
h(x)≥h(0)=e^e^(-2)-0>0
∴e^f(x-2)-g(x)>0
即e^f(x-2)>g(x)
综上:x∈R,e^f(x-2)>g(x)
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