已知函数fn(x)＝ln(x+n)−nx+n+1n(n+1)（其中n为常数，n∈N*），将函数fn（x）的最大值记为an，由an构成的数列{an}的前n项和记为Sn．（Ⅰ）求Sn；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，总存在x∈R+使xex−1+a＝an，

Question

已知函数fn(x)＝(ln(x+n)−n)/(x+n)+(1)/(n(n+1))（其中n为常数，n∈N^*），将函数f_n（x）的最大值记为a_n，由a_n构成的数列{a_n}的前n项和记为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，总存在x∈R⁺使(x)/(ex−1)+a＝an，求a的取值范围；
（Ⅲ）比较(1)/(en+1+e•n)+fn(en)与a_n的大小，并加以证明．

Answer 1

（Ⅰ）fn′(x)＝(−ln(x+n)+n+1)/((x+n)2)，（2分）
令f_n′（x）＞0，则x＜eⁿ⁺¹-n．
∴f_n（x）在（-n，eⁿ⁺¹-n）上递增，在（eⁿ⁺¹-n，+∞）上递减．（4分）
∴当x=eⁿ⁺¹-n时，fn(x)max＝fn(en+1−n)＝(1)/(en+1)+(1)/(n(n+1))（5分）
即an＝(1)/(en+1)+(1)/(n(n+1))，
则Sn＝(en−1)/(en+2−en+1)+(n)/(n+1)．（6分）
（Ⅱ）∵n≥1，∴eⁿ⁺¹递增，n（n+1）递增，
∴an＝(1)/(en+1)+(1)/(n(n+1))递减．
∴0＜an≤a1＝(1)/(e2)+(1)/(2)，
即an∈(0，(1)/(e2)+(1)/(2)]（8分）
令g(x)＝(x)/(ex−1)+a，则g′(x)＝(1−x)/(ex−1)，
∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
当x→0时，(x)/(ex−1)→0；
当x→+∞时，(x)/(ex−1)＞0；
又g（1）=1+a，
∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
由已知得，（a，1+a]⊇(0，(1)/(e2)+(1)/(2)]，
∴

作业帮用户 2016-11-28 举报

问题解析

（Ⅰ）fn′(x)＝

(−ln(x+n)+n+1)/((x+n)2)，令f_n′（x）＞0，则x＜eⁿ⁺¹-n．所以f_n（x）在（-n，eⁿ⁺¹-n）上递增，在（eⁿ⁺¹-n，+∞）上递减．由此能求出S_n．
（Ⅱ）由n≥1，知eⁿ⁺¹递增，n（n+1）递增，an＝(1)/(en+1)+(1)/(n(n+1))递减．所以an∈(0，(1)/(e2)+(1)/(2)]，令g(x)＝(x)/(ex−1)+a，则g′(x)＝(1−x)/(ex−1)，故g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．由此入手能够求出a的取值范围．
（Ⅲ）作差相减(1)/(en+1+e•n)+fn(en)−an，得(1)/(en+1+e•n)+(ln(en+n)−n)/(en+n)+(1)/(n(n+1))−(1)/(en+1)−(1)/(n(n+1))，整理为(1)/(en+n)((1)/(e)+ln(en+n)/(en)−(1)/(e)(en+n)/(en))，令t＝(en+n)/(en)，能够推导出(1)/(en+1+e•n)+fn(en)＞an．

名师点评

本题考点：

导数在最大值、最小值问题中的应用；数列与函数的综合．

考点点评：

本题考查导数在函数最值中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，仔细解答，注意培养运算能力，注意作差法的合理运用．

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