设f(x)=sin(wx+φ)w>0φ∈R若存在T,T>0使f(x+T)=Tf(x)恒成立,求w的取值范围

Question

设f(x)=sin(wx+φ)w>0φ∈R若存在T,T>0使f(x+T)=Tf(x)恒成立,求w的
取值范围

Answer 1

fx是正弦函数 那么f的值域是-1到1.
一定有x使得f（x）=1 这时有f（x+T）=T ,又f（x+T）也是正弦函数 ,值域是-1到1,所以T≤1.
同样的f（x+T）=1时,有1=T*f（x）,得T≥1,所以T=1（T还可以=-1,情况类似 不做赘述）
那么就有sin（w（x+1）+fai)=sin(wx+fai)得到sin（wx+fai+w）=sin（wx+fai） 所以w=2kπ,那么w最小值为2π那么就是sin（w（x-1）+fai）=-sin（wx+fai）得到sin（wx+fai-w）=-sin（wx+fai） 所以w最小值为π,w的取值范围是2kπ+π