设X是实数集的子集,且满足以下条件：1/2∈X,且若x∈X,则x/(1+x)∈X,1/(1+x)∈X.证明：（0,1）之间的有理数都属于集合X.

Question

设X是实数集的子集,且满足以下条件：
1/2∈X,且若x∈X,则x/(1+x)∈X,1/(1+x)∈X.
证明：（0,1）之间的有理数都属于集合X.

Answer 1

设x为有理数,且x∈（0,1）
那么1+x∈(1,2) ,
所以1/(1+x)∈(1/2,1)
x/(x+1)=1-1/(x+1)∈(0,1/2)
即1/(x+1)∈（0,1）,x/(x+1)∈(0,1)
（0,1）是X的子集
∴（0,1）之间的有理数都属于集合X