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规定Amx=x(x-1)…(x-m+1),其中x∈R,m为正整数,且A0x=1,这是排列数Amn(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.(1)求A3−15的值;(2)排列数的两个性质:①Amn=nAm−1n−1,②Amn+mAm−1n=Amn+
题目详情
规定
=x(x-1)…(x-m+1),其中x∈R,m为正整数,且
=1,这是排列数
(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.
(1)求
的值;
(2)排列数的两个性质:①
=n
,②
+m
=
.(其中m,n是正整数)是否都能推广到
(x∈R,m是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由;
(3)确定函数
的单调区间.
A | m x |
A | 0 x |
A | m n |
(1)求
A | 3 −15 |
(2)排列数的两个性质:①
A | m n |
A | m−1 n−1 |
A | m n |
A | m−1 n |
A | m n+1 |
A | m x |
(3)确定函数
A | 3 x |
▼优质解答
答案和解析
(1)A-153=(-15)(-16)(-17)=-4080;
(2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是:
①Axm=xAx-1m-1,②Axm+mAxm-1=Ax+1m(x∈R,m∈N+)
事实上,在①中,当m=1时,左边=Ax1=x,右边=xAx-10=x,等式成立;
当m≥2时,左边=x(x-1)(x-2)(x-m+1)=x[(x-1)(x-2)((x-1)-(m-1)+1)]=xAx-1m-1,
因此,①Axm=xAx-1m-1成立;
在②中,当m=1时,左边=Ax1+Ax0=x+1=Ax+11=右边,等式成立;
当m≥2时,
左边=x(x-1)(x-2)(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)(x-m+2)
=x(x-1)(x-2)(x-m+2)[(x-m+1)+m]=(x+1)x(x-1)(x-2)[(x+1)-m+1]=Ax+1m=右边,
因此②Axm+mAxm-1=Ax+1m(x∈R,m∈N+)成立.
(3)先求导数,得(Ax3)′=3x2-6x+2.
令3x2-6x+2>0,解得x<
或x>
.
因此,当x∈(−∞,
)时,函数为增函数,
当x∈(
,+∞)时,函数也为增函数.
令3x2-6x+2<0,解得
<x<
(2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是:
①Axm=xAx-1m-1,②Axm+mAxm-1=Ax+1m(x∈R,m∈N+)
事实上,在①中,当m=1时,左边=Ax1=x,右边=xAx-10=x,等式成立;
当m≥2时,左边=x(x-1)(x-2)(x-m+1)=x[(x-1)(x-2)((x-1)-(m-1)+1)]=xAx-1m-1,
因此,①Axm=xAx-1m-1成立;
在②中,当m=1时,左边=Ax1+Ax0=x+1=Ax+11=右边,等式成立;
当m≥2时,
左边=x(x-1)(x-2)(x-m+1)+mx(x-1)(x-2)(x-m+2)
=x(x-1)(x-2)(x-m+2)[(x-m+1)+m]=(x+1)x(x-1)(x-2)[(x+1)-m+1]=Ax+1m=右边,
因此②Axm+mAxm-1=Ax+1m(x∈R,m∈N+)成立.
(3)先求导数,得(Ax3)′=3x2-6x+2.
令3x2-6x+2>0,解得x<
3−
| ||
3 |
3+
| ||
3 |
因此,当x∈(−∞,
3−
| ||
3 |
当x∈(
3+
| ||
3 |
令3x2-6x+2<0,解得
3−
| ||
3 |
3+
| ||
3 |
作业帮用户
2017-09-28
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