已知函数f(x)=e^x+ax-2,对于任意的x1x2∈(0,+∞)且x1

Question

已知函数f(x)=e^x+ax-2,对于任意的x1x2∈(0,+∞)且x1)+a]< x1[f(x2)+a]成立,求a

Answer 1

x2(f(x1)+a)＜x1(f(x2)+a)
<=>(f(x1)+a)/x1＜(f(x2)+a)/x2
<=>(f(x)+a)/x在R+上递增.
令g(x)=(f(x)+a)/x=(e^x+ax+a-2)/x.
g'(x)=((x-1)e^x-a+2)/x²
g(x)在R+上递增,则g'(x)＞0对x∈R+恒成立.
即(x-1)e^x-a+2＞0对x∈R+恒成立.
令h(x)=(x-1)e^x-a+2,则h'(x)=xe^x.
x∈R+时,h'(x)＞0恒成立.
故h(x)在R+递增,h(x)＞h(0)=-a+1.
故只需-a+1≥0,得a≤1.
综上,a≤1.