lim[1-x^2-e^(-x^2)]/x(sin2x)^3x趋近于0

Question

lim[1-x^2-e^(-x^2)]/x(sin2x)^3 x趋近于0

Answer 1

此题考虑用泰勒公式展开：
e^x=1+x+(1/2)x^2+o(x^2)
用-x^2代替上式中x:
e^(-x^2)=1-x^2+(1/2)x^4+o(x^5) 代入分子中：
原式中分子=1-x^2-1+x^2-(1/2)x^4+o(x^5) =-(1/2)x^4+o(x^5)
用泰勒公式展开sin3x:
sin3x=3x+o(x^2)
(sin3x)^3=27x^3+o(x^4)
原式中分母=x(sin2x)^3=27x^4+o(x^5)
所以：
原式=lim(x→0)分子/分母
=lim(x→0)[-(1/2)x^4+o(x^5) ] /[27x^4+o(x^5)]
= - 1/54

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