设limx→0,[x·f（x）/1-cos2x]=1,其中f（0）=0,则f'（0）=?

Question

设lim x→0 ,[x·f（x）/1-cos2x]=1,其中f（0）=0,则f'（0）=?

Answer 1

设lim(x→0) xƒ(x)/(1 - cos(2x)) = 1,其中ƒ(0) = 0,则ƒ'(0) = ?
当x→0时,1 - cos(2x) → 0
要令这极限有意义,则分子亦要 → 0,即xƒ(x) → 0
lim(x→0) xƒ(x)/(1 - cos(2x)),= lim(x→0) [ƒ(x) + xƒ'(x)]/(2sin(2x)) = lim(x→0) [ƒ'(x) + ƒ'(x) + xƒ''(x)]/(4cos(2x)) = [2ƒ'(0) + 0]/(4cos(0))
= 2ƒ'(0)/4 = (1/2)ƒ'(0)
而(1/2)ƒ'(0) = 1
--> ƒ'(0) = 2
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