求曲线积分∫Γx2ds,Γ是球面（x-1）2+（y+1）2+z2=a2与平面x+y+z=0相交的圆周.

Question

求曲线积分∫Γ x2ds ,Γ 是球面（x-1）2+（y+1）2+z2=a2 与平面x+y+z=0相交的圆周.

Answer 1

用参数法很简单.
设u=x-1,v=y+1,w=z
那么积分曲线变成了u^2+v^2+w^2=a^2和u+v+w=0的交线.显然这是一个大圆,
且积分曲线上u,v,w的地位相同.
所以∫u^2ds=∫v^2ds=∫w^2ds
∫uds=0
所以,
原积分
=∫(u+1)^2ds
=∫u^2ds+2∫uds+∫ds
=(1/3)∫(u^2+v^2+w^2)ds+0+2πa
=(1/3)a^2∫ds+2πa
=(1/3)a^2(2πa)+2πa
=2πa(a^2+3)/3