如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（1）求该椭圆的

Question

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F ₁ ，F ₂ ，线段OF ₁ ，OF ₂ 的中点分别为B ₁ ，B ₂ ，且△AB ₁ B ₂ 是面积为4的直角三角形．

（1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）过B ₁ 做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB ₂ ⊥QB ₂ ，求直线l的方程。

Answer 1

（1）设椭圆的方程为 ，F ₂ （c，0）
∵△AB ₁ B ₂ 是的直角三角形，|AB ₁ |=AB ₂ |，
∴∠B ₁ AB ₂ 为直角，从而|OA|=|OB ₂ |，
即
∵c ² =a ² -b ² ，
∴a ² =5b ² ，c ² =4b ² ，
∴  
在△AB ₁ B ₂ 中，OA⊥B ₁ B ₂ ，
∴S=  |B ₁ B ₂ ||OA|=  
∵S=4，
∴b ² =4，
∴a ² =5b ² =20
∴椭圆标准方程为  ；
（2）由（1）知B ₁ （﹣2，0），B ₂ （2，0），
由题意，直线PQ的倾斜角不为0，
故可设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，
消元可得（m ² +5）y ² ﹣4my﹣16﹣0
①设P（x ₁ ，y ₁ ），Q（x ₂ ，y ₂ ），
∴ ，
∵ ，
∴ =
∵PB ₂ ⊥QB ₂ ，
∴
∴ ，
∴m=±2。