如图，以长方形ABCO中点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足a-2b+|b-2|=0．（1）求点A，B和C的坐标．（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发

Question

如图，以长方形ABCO中点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足√(a-2b)+|b-2|=0．
（1）求点A，B和C的坐标．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动．Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿O→A→B→C的路线移动，点Q到达C点整个运动随之结束．若长方形对角线AC，BO的交点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t>0）秒．问：是否存在这样的t，使S_△ODP=S_△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）点F是线段AC上一点，满足∠FOC=∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG=∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，下列两个结论：①(∠OHC-∠ACE)/(∠OEC)的值不变；②(∠OHC+∠ACE)/(∠OEC)的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求其值．

Answer 1

（1）∵√(a-2b)+|b-2|=0，
∴a-2b=0，b-2=0，
解得a=4，b=2，
∴A（0，4），C（2，0），
∵AB∥x轴，BC∥y轴，
∴B（2，4）；

（2）由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
①当0<t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，
∴S_△DOP=(1)/(2)OP•y_D=(1)/(2)（2-t）×2=2-t，
∵S_△ODP=S_△ODQ，
∴2-t=t，
∴t=1；
②当2≤t≤3时，点Q在线段AB上，即CP=t，OP=t-2，QB=6-2t，
S_△DOP=(1)/(2)OP•y_D=(1)/(2)（t-2）×2=t-2，
S_△DOP=S_△OBQ-S_△DBQ=(1)/(2)QB•AO-(1)/(2)QB（y_B-y_D）=(1)/(2)×（6-2t）×4-(1)/(2)×（6-2t）（4-2）=6-2t，
∵S_△DOQ=S_△ODQ，
∴t-2=6-2t，
∴t=(8)/(3)；
③当3≤t≤5时，点Q在线段BC上，CP=t，OP=t-2，QB=2t-6，
S_△DOP=(1)/(2)OP•y_D=(1)/(2)（t-2）×=t-2，
S_△DOQ=S_△OBQ-S_△DBQ=(1)/(2)QB•OC-(1)/(2)QB（x_B-x_D）=(1)/(2)×（2t-6）-(1)/(2)（6-2t）（2-1）=t-3，
∵S_△ODP=S_△ODQ，
∴t-2=t-3，无解，
此情况下不存在这样的t，
∴当t=1或t=(8)/(3)时，S_△ODP=S_△ODQ；


（3）(∠OHC+∠ACE)/(∠OEC)的值不变，其值为2．
∵∠2+∠3=90°，
又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO=180°，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
∴(∠OHC+∠ACE)/(∠OEC)=(∠1+∠2+∠4+∠4)/(∠1+∠4)=(2(∠1+∠4))/(∠1+∠4)=2．