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如图,在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD的下方作等边△CDE,连结BE.(1)填空:∠CAM=度;(2)若点D在线段AM上时,求证:△ADC≌△BEC;(3)

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如图,在等边△ABC中,线段AM为BC边上的中线.动点D在直线AM上时,以CD为一边在CD的下方作等边△CDE,连结BE.
(1)填空:∠CAM=______度;
(2)若点D在线段AM上时,求证:△ADC≌△BEC;
(3)当动点D在直线AM上时,设直线BE与直线AM的交点为O,试判断∠AOB是否为定值?并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°.
∵线段AM为BC边上的中线
∴∠CAM=
1
2
∠BAC,
∴∠CAM=30°.
故答案为:30;
(2)∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中
AC=BC
∠ACD=∠BCE
CD=CE

∴△ACD≌△BCE(SAS);
(3)∠AOB是定值,∠AOB=60°,
理由如下:
①当点D在线段AM上时,如图1,由(2)可知△ACD≌△BCE,则∠CBE=∠CAD=30°,
又∠ABC=60°
∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°,
∵△ABC是等边三角形,线段AM为BC边上的中线
∴AM平分∠BAC,即∠BAM=
1
2
∠BAC=
1
2
×60°=30°
∴∠BOA=90°-30°=60°.
②当点D在线段AM的延长线上时,如图2,
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
AC=BC
∠ACD=∠BCE
CD=CE

∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴∠CBE=∠CAD=30°,
同理可得:∠BAM=30°,
∴∠BOA=90°-30°=60°.
③当点D在线段MA的延长线上时,
∵△ABC与△DEC都是等边三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
AC=BC
∠ACD=∠BCE
CD=CE

∴△ACD≌△BCE(SAS)
∴∠CBE=∠CAD
同理可得:∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBO=30°,∠BAM=30°,
∴∠BOA=90°-30°=60°.
综上,当动点D在直线AM上时,∠AOB是定值,∠AOB=60°.
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