一轻质细绳一端系一质量为m=0.05kg的小球A，细绳能承受的最大张力为4N，另一端挂在光滑水平轴O上，O到小球的距离为L=0.1m，小球跟水平面接触，但无相互作用，在球的两侧等距离处分别固定

Question

一轻质细绳一端系一质量为m=0.05kg的小球A，细绳能承受的最大张力为4N，另一端挂在光滑水平轴O上，O到小球的距离为L=0.1m，小球跟水平面接触，但无相互作用，在球的两侧等距离处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，如图1所示，水平距离s=2m，动摩擦因数为μ=0.25．现有一滑块B，质量也为m，从斜面上滑下，与小球碰撞时两者交换速度．若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，g取10m/s²，试问：
（1）若滑块B从斜面某一高度h处滑下与小球第一次碰撞后，使小球恰好在竖直平面内做完整圆周运动，求此高度h；
（2）若滑块B从斜面某一高度h处滑下与小球第一次碰撞后，能使小球在竖直平面内做完整圆周运动，求此高度h范围；
（3）若要求滑块B在小于（1）中高度时从斜面某一高度h处滑下与小球第一次碰撞并交换速度后，恰能使小球在竖直平面内做完整圆周运动，则必须在O点正下方钉一钉子，求钉子离O点的距离d与高度h之间的关系式并在图2中画出d-h图象．

Answer 1

（1）小球恰好做完整的圆周运动，在最高点，重力提供向心力，
由牛顿第二定律得：mg=m(v20)/(L)，
小球从最低点到最高点过程中，机械能守恒，
由机械能守恒定律得：(1)/(2)mv₁²=mg•2L+(1)/(2)mv₀²，
滑块从静止运动到与小球碰撞过程中，
由动能定理得：mgh-μmg•(s)/(2)=(1)/(2)mv₂²-0，
碰撞过程，两者交换速度：v₁=v₂，
代入数据解得：v₁=√(5)m/s，h=0.5m；
（2）绳子恰好不被拉断时，对滑块，由动能定理得：mgh′-μmg•(s)/(2)=(1)/(2)mv²-0，
碰撞过程，两者交换速度，小球的速度为v，
对小球，在最低点，由牛顿第二定律得：T-mg=m(v2)/(L)，
解得：h′=0.6m，则0.5m≤h′≤0.6m；
（3）滑块从h处滑下到将要与小球碰撞时的速度为v，
由动能定理得：mgh-μmg•(s)/(2)=(1)/(2)mv²-0，
小球从最低点到最高点过程：(1)/(2)mv²=mg•2（L-d）+(1)/(2)mv′²，
小球做完整的圆周运动，在最高点：mg=m(v′2)/(L−d)，
则：v=√(5g(L−d))，解得：d=0.2-0.4h，（0.25＜h＜0.5），
图象如图所示：

答：（1）小球恰好在竖直平面内做完整圆周运动，高度h为0.5m；
（2）此高度范围为：0.5m≤h′≤0.6m；
（3）d-h图象如图所示．