已知：点A在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，OA=13，OB=2．（1）求反比例函数的函数解析式；（2）点P在双曲线y=kx（x＞0）上，点P到y轴的距离是m，过点P作y轴的

Question

已知：点A在反比例函数y=(k)/(x)（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，OA=√(13)，OB=2．
（1）求反比例函数的函数解析式；
（2）点P在双曲线y=(k)/(x)（x＞0）上，点P到y轴的距离是m，过点P作y轴的平行线，交直线OA于点D，设线段PD的长为d （d≠0），求d与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当m=6时，在平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵AB⊥OB，OA=√(13)，OB=2，
∴AB=√(OA2−OB2)=√(13−4)=3．
∴点A的坐标为（2，3）．
∵点A在反比例函数y=(k)/(x)（x＞0）的图象上，
∴k=2×3=6．
∴反比例函数的解析式为y=(6)/(x)（x＞0）．

（2）设直线OA的解析式为y=ax．
∵点A（2，3）在直线OA上，
∴3=2a．
∴a=(3)/(2)．
∴直线OA的解析式为y=(3)/(2)x．
①当0＜m＜2时，如图1，

∵PD∥y轴，
∴x_D=x_P=m．
∴d=PD=y_P-y_D
=(6)/(m)-(3)/(2)m．
②当m=2时，点P、D、A重合，
此时PD=0，与条件PD≠0矛盾，故舍去．
③当m＞2时，如图2，

同理可得：d=y_D-y_P=(3)/(2)m-(6)/(m)．
综上所述：当0＜m＜2时，d=(6)/(m)-(3)/(2)m；当m＞2时，d=(3)/(2)m-(6)/(m)．

（3）当m=6时，y=(6)/(6)=1，此时点P的坐标为（6，1）．
①若以AB、AP为平行四边形的邻边，如图3，

∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AB∥PQ，AB=PQ=3．
∵AB⊥x轴，
∴PQ⊥x轴．
∴点Q的坐标为（6，1-3）即（6，-2）．
②若以BA、BP为平行四边形的邻边，如图4，

同理可得：点Q的坐标为（6，4）．
③若以PA、PB为平行四边形的邻边，
过点Q作QE⊥AB于点E，过点P作PF⊥AB于点F，如图5，

则有∠AEQ=∠BFP=90°．
∵四边形APBQ是平行四边形，
∴QA=PB，QA∥BP．
∴∠QAE=∠PBF．
在△QAE和△PBF中，

∠QAE＝∠PBF

∠AEQ＝∠BFP

QA＝PB

．
∴△QAE≌△PBF．
∴QE=PF，AE=BF，
设点Q的坐标为（x，y），
则2-x=6-2，3-y=1-0．
解得：x=-2，y=2．
∴点Q的坐标为（-2，2）．
综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为（6，-2）或（6，4）或（-2，2）．