如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．

（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

（1）点B的坐标为（0，2）；（2）DE=4；（3）m的值为8或-8．.

试题分析：（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；
（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；
（3）①根据点A和点B的坐标，得到 ， ，将 代入 ，即可求出二次函数的表达式；
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．
试题解析：（1）当m=2时，y= （x-2） ² +1，
把x=0代入y= （x-2） ² +1，得：y=2，
∴点B的坐标为（0，2）．
（2）延长EA，交y轴于点F，
∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，
∴△AFC≌△AED，
∴AF=AE，
∵点A（m，- m ² +m），点B（0，m），
∴AF=AE=|m|，BF=m-（- m ² +m）= m ² ，
∵∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，
∴△ABF∽△DAE，
∴ ，
即： ，
∴DE=4．
（3）①∵点A的坐标为（m，- m ² +m），
∴点D的坐标为（2m，- m ² +m+4），
∴x=2m，y=- m ² +m+4，
∴y=- •( ) ² + +4，
∴所求函数的解析式为：y=- x ² + +4，
②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，

（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），
点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：（- m ² +m+4）-（ m ² ）=- m ² +m+4，
把P（3m，- m ² +m+4）的坐标代入y=- x ² + +4得：- m ² +m+4=- ×（3m） ² + ×（3m）+4，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．
（Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），
点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：（- m ² +m+4）+（ m ² ）=m+4，
把P（m，m+4）的坐标代入y=- x ² + +4得：
m+4=- m ² + m+4，
解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=-8，
综上所述：m的值为8或-8．
考点:二次函数综合题．