（12分）已知二次函数。（1）若函数在区间[-1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；（2）问是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的最大值与最小值之差为12-t。

Question

（12分）已知二次函数 。
（1）若函数在区间[-1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；
（2）问是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的最大值与最小值之差为12-t。

Answer 1

（1）-20≤q≤12。
（2）存在常数 ,8,9满足条件。

（1）∵函数 的对称轴是x=8，
∴函数在区间[-1,1]上是减函数。
∵函数在区间[-1,1]上存在零点，则必有：
即 ，∴-20≤q≤12。
（2）∵0≤t≤10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x=8。
①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，
∴f(t)-f(8)=12-t,即t²-15t+52=0,解得 ，
所以 ；
②当6<t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，
∴f(10)-f(8)=12-t,解得t=8；
③当8＜t≤10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，
∴f(10)-f(t)=12-t,解得t=8或9.，
∴t=9.
综上所知，存在常数 ,8,9满足条件。