柯西方程是什么东西?其中说到的指函数方程就是指数函数的方程吗?有什么应用?

Question

柯西方程是什么东西?其中说到的指函数方程就是指数函数的方程吗?有什么应用?

Answer 1

柯西方程指函数方程f(x+y)=f(x)+f(y) x,y属于R
函数方程是指含有未知函数的等式.如f(x＋1)=x、f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x＋2)=f(x)等.其中f(x)是未知函数
柯西方法解函数方程的步骤是：先求出对于自变量取所有自然数时函数方程的解具有的形式,然后依次证明对自变量取整数值、有理数值以及实数值时函数方程的解仍具有这种形式,从而得到函数方程的解.这种思维又叫“爬坡式推理”.
运用
求函数方程(柯西方程）f(x+y)=f(x)+f(y)的所有连续解
令x=y 得f(2x)=2f(x)
又令y=2x 得f(3x)=f(2x)+f(x)=3f(x)
归纳可知对于任意自然数n,f(nx)=nf(x)
在原方程中,令y=-x 得,f(0)=f(x)+f(-x),
又令x=y=0 得f(0)=0
∴f(-x)=-f(x) [这说明f(x)是奇函数]
于是,对于任意n∈Z,f(nx)=nf(x)
则f(x)=f(n×(x/n))=nf(x/n)
则f(x/n)=f(x)/n
再设x=mt ,则f(mt/n)=f(mt)/n=mf(t)/n
令t=1 则f(m/n)=m/nf(1)
可见对于一切有理数r,总有f(r)=rf(1)
又因为,对于无理数x,总可以由一列有理数r1,r2,.,rn表示(r1,r2,.,rn中的1、2、n都是在右下标）
即当n→∞时,rn→r（注：这是高等数学的一个结论）
f(rn)=rnf(1),令n→∞得 f(x)=xf(1)