如图装置中绳子质量，滑轮质量及摩擦均不计，两物体质量分别为m1=m，m2=4m，m1，下端通过劲度系数为k的轻质弹簧与地面相连．①系统静止时弹簧处于什么状态？形变量△x为多少？②用手托

Question

如图装置中绳子质量，滑轮质量及摩擦均不计，两物体质量分别为m₁=m，m₂=4m，m₁，下端通过劲度系数为k的轻质弹簧与地面相连．
①系统静止时弹簧处于什么状态？形变量△x为多少？
②用手托住m₂，让m₁静止在弹簧上，绳子绷直，但无拉力，然后放手，m₁、m₂会上下做简谐振动，求：m₁、m₂运动的最大速度分别为多大？
③在②问的情况下，当m₂下降到最低点，m₁上升到最高点时，求：此时m₁、m₂的加速度的大小各为多少？

Answer 1

①由图分析可知，拉m₁的绳子拉力大小为2mg，大于mg，所以弹簧处于拉伸状态．根据平衡条件得：
对m₁：T=m₁g+k△x=mg+k△x
对m₂：2T=m₂g T=2mg
所以得：△x=(mg)/(k)
②当m₁、m₂速度最大时，两者加速度都等于0，
所以此时弹簧被拉长△x．
由两个物体组成的系统机械能守恒得：
  m₂g△x-m₁g2△x=(1)/(2)m2

v

2 2

+(1)/(2)m1

v

2 1

又 v₁=2v₂，
解得：v₁=√((2mg2)/(k))，v₂=√((mg2)/(2k))
③根据简谐运动的对称性，此时m₁、m₂的加速度大小与刚释放时的加速度大小相等，设为a₁、a₂，绳子的拉力为T′，则根据牛顿第二定律得：
 对m₁：T′=m₁a₁            
 对m₂：m₂g-2T′=m₂a₂      
又 a₁=2a₂，
可解得：a₁=g，a₂=(1)/(2)g            
答：①系统静止时弹簧处于拉伸状态，形变量△x为(mg)/(k)．
②m₁、m₂运动的最大速度分别为√((2mg2)/(k))、√((mg2)/(2k))．
③此时m₁、m₂的加速度的大小分别为g，(1)/(2)g．