如图，直线y=-x+5与x、y轴分别交于点A、B，抛物线y=-x2+bx+c的顶点在直线AB上，且经过另一点（2，3）（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线与x轴的负半轴交于点C，在直线y=-x+5有一点E，使△A

Question

如图，直线y=-x+5与x、y轴分别交于点A、B，抛物线y=-x²+bx+c的顶点在直线AB上，且经过另一点（2，3）

（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线与x轴的负半轴交于点C，在直线y=-x+5有一点E，使△ABO与△ACE相似，求出点E的坐标．
（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使△APC的面积等于△ACE的面积？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设抛物线的顶点坐标为（t，-t+5），
则抛物线解析式为y=-（x-t）²-t+5，
把（2，3）代入得-（2-t）²-t+5=3，
整理得t²-3t+2=0，解得t₁=1，t₂=2（舍去），
所以抛物线解析式为y=-（x-1）²-1+5，即y=-x²+2x+3；
（2）当x=0时，y=-x+5=5，则B（0，5）；当y=0时，-x+5=0，解得x=5，则A（5，0），
当y=0时，-x²+2x+3，解得x₁=1，x₂=3，则C（-1，0），
∵OA=OB=5，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
作CF⊥AB于F，如图1，则△ACE为等腰直角三角形，△AOB∽△ACE，
∴EF=(1)/(2)AC=(1)/(2)（5+1）=3，
∴E点坐标为（2，3），
过点C作CE⊥x轴交直线y=-x+5于E点，如图2，当x=-1时，y=-x+5=6，则E（-1，6），
∵CE∥OB，
∴△AOB∽△ACE，
综上所述，点E的坐标为（-1，6）或（2，3）；
（3）存在．
设P（x，-x²+2x+3），
当E（2，3）时，S_△ACE=(1)/(2)×6×3=9，
∵△APC的面积等于△ACE的面积，
∴(1)/(2)•6•（x²-2x-3）=9，解得x₁=1+√(7)，x₂=1-√(7)，
此时P点坐标为（1+√(7)，-3）或（1-√(7)，-3）；
当E（-1，6）时，S_△ACE=(1)/(2)×6×6=18，
∵△APC的面积等于△ACE的面积，
∴(1)/(2)•6•（x²-2x-3）=18，解得x₁=1+√(10)，x₂=1-√(10)，
此时P点坐标为（1+√(10)，-3）或（1-√(作业帮用户2017-01-27举报举报该用户的提问举报类型（必填）色情低俗辱骂攻击侮辱英烈垃圾广告不良流行文化骗取采纳其他举报理由（必填）0/100提交扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)