如图：M、N分别为直角坐标系x、y正半轴上两点，过M、N和原点O三点的圆和直线y=x交于点P，（1）试判断△PMN的形状；（2）连接MN，设直线y=x交MN于点G，若PG：PN=3：4，△PGN的周长为6，求△PON

Question

如图：M、N分别为直角坐标系x、y正半轴上两点，过M、N和原点O三点的圆和直线y=x交于点P，

（1）试判断△PMN的形状；
（2）连接MN，设直线y=x交MN于点G，若PG：PN=3：4，△PGN的周长为6，求△PON的周长．

Answer 1

（1） △PMN是等腰直角三角形，
理由：∵y=x，
∴∠PON=∠POM=45°．
∴PN=PM．
∵四边形ONPM内接于圆，
∴∠MON+∠NPM=180°．
∵∠MON=90°，
∴∠NPM=90°．
即△PMN是等腰直角三角形．

（2）∵△PMN是等腰直角三角形，
∴∠PMN=∠PNM
∵∠OPN=∠OPN，
∴△PNG∽△PON．
∴△PNG的周长：△PON的周长=PG：PN=3：4．
∴△PNG的周长=6，
∴△PON的周长=8．