如图，直线y=-x+b与双曲线y=1x（x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，连接OA、OB，若S△AOB=S△OBF+S△OAE．则：①S△OBF+S△OAE=S△OEF；②b=．

Question

如图，直线y=-x+b与双曲线y= (1)/(x) （x＞0）交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于E、F两点，连接OA、OB，若S _△AOB =S _△OBF +S _△OAE ．则：①S _△OBF +S _△OAE =______S _△OEF ；②b=______．

Answer 1

①令y=0，则-x+b=0，
解得x=b，
令x=0，则y=b，
所以，点E（b，0）、F（0，b），
所以，OE=OF=b，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OEA=45°，
作AN⊥OE于N，
∴AN=NE，△ANE ∽ △FOE，
∴ (AE)/(EF) =(EN)/(OE) ．
过点O作OM⊥AB于点M，则ME=MF，
设点A（x ₁ ，y ₁ ）、B（x ₂ ，y ₂ ），
∵

y=-x+b

y=(1)/(x)

，
消去y得，x ² -bx+1=0，
根据根与系数的关系，x ₁ •x ₂ =1，
所以y ₁ •y ₂ =1，
所以y ₁ =x ₂ ，y ₂ =x ₁ ，
所以OA=OB，
所以AM=BM（等腰三角形三线合一），
∵S _△AOB =S _△OBF +S _△OAE ，
∴FB=BM=AM=AE，
∴S _△AOE =S _△AOM =S _△MOB =S _△BOF . (AE)/(EF) =(1)/(4) ．
∴S _△OBF +S _△OAE = (1)/(2) S _△OEF ，
②∵ (AE)/(EF) =(EN)/(OE) ，
∴ (EN)/(OE) =(1)/(4) ，
∴ (EN)/(b) =(1)/(4) ，
∴EN= (1)/(4) b，
∴AN= (1)/(4) b，
∴ON= (3)/(4) b，
∴A（ (3)/(4) b， (1)/(4) b），
∵点A在双曲线y= (1)/(x) 上，
∴ (3)/(4) b× (1)/(4) b=1，
解得b= (4)/(3)

3

，
故答案为： (1)/(2) ， (4)/(3)

3

．